数据结构和算法学习--排序算法简介

Leefs 2020-01-31 PM 2660℃ 0条

# 数据结构和算法学习--排序算法简介

### 1. 排序算法的介绍

排序也称排序算法(Sort Algorithm),排序是将一组数据，依指定的顺序进行排序的过程。

### 2. 排序的分类：

（1）内部排序：

指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器（内存）中进行排序。

（2）外部排序法：

**数据量过大**，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储（文件等）进行排序。

（3）常见的排序算法分类：

![13.排序算法简介01.png][1]

### 3. 算法的时间复杂度

#### 3.1 度量一个程序（算法）执行时间的两种方法

（1）事后统计的方法

这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, **这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快**。

（2）事前估算的方法

通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优。

#### 3.2 时间频度

基本介绍

时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

**举例说明：基本案例**

```java
//计算1-100所有数字之和，我们设计两种算法：
int total=0;
int end=100;
//使用for循环计算
for(int i=1;i<=end;i++){
    total+=i;
}
T(n)=n+1;
//直接计算
total=(1+end)*end/2
T(n)=1
```

**举例说明**:忽略常数项

|      | T(n)=2n+20 | T(n)=2*n | T(3n+10) | T(3n) |
| ---- | ---------- | -------- | -------- | ----- |
| 1    | 22         | 2        | 13       | 3     |
| 2    | 24         | 4        | 16       | 6     |
| 5    | 30         | 10       | 25       | 15    |
| 8    | 36         | 16       | 34       | 24    |
| 15   | 50         | 30       | 55       | 45    |
| 30   | 80         | 60       | 100      | 90    |
| 100  | 220        | 200      | 310      | 300   |
| 300  | 620        | 600      | 910      | 900   |

![13.排序算法简介02.png][2]

**结论：**

(1)`2n+20` 和 `2n` 随着n 变大，执行曲线无限接近, 20可以忽略

(2)`3n+10` 和 `3n` 随着n 变大，执行曲线无限接近, 10可以忽略

**举例说明:**忽略低次项

|      | T(n)=2n^2+3n+10 | T(2n^2) | T(n^2+5n+20) | T(n^2) |
| ---- | --------------- | ------- | ------------ | ------ |
| 1    | 15              | 2       | 26           | 1      |
| 2    | 24              | 8       | 34           | 4      |
| 5    | 75              | 50      | 70           | 25     |
| 8    | 162             | 128     | 124          | 64     |
| 15   | 505             | 450     | 320          | 225    |
| 30   | 1900            | 1800    | 1070         | 900    |
| 100  | 20310           | 20000   | 10520        | 10000  |

![13.排序算法简介03.png][3]

结论：

(1)`2n^2+3n+10` 和 `2n^2` 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10

(2)`n^2+5n+20` 和 `n^2` 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

**举例说明**:忽略系数

|      | T(3n^2+2n) | T(5n^2+7n) | T(n^3+5n) | T(6n^3+4n) |
| ---- | ---------- | ---------- | --------- | ---------- |
| 1    | 5          | 12         | 6         | 10         |
| 2    | 16         | 34         | 18        | 56         |
| 5    | 85         | 160        | 150       | 770        |
| 8    | 208        | 376        | 552       | 3104       |
| 15   | 705        | 1230       | 3450      | 20310      |
| 30   | 2760       | 4710       | 27150     | 162120     |
| 100  | 30200      | 50700      | 1000500   | 6000400    |

![13.排序算法简介04.png][4]

结论：

(1)随着n值变大，`5n^2+7n` 和 `3n^2 + 2n` ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略。

(2)而`n^3+5n` 和 `6n^3+4n` ，执行曲线分离，说明多少次方式关键

#### 3.3 时间复杂度

(1)一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

(2)T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

(3)计算时间复杂度的方法：

•用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1

•修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²

•去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

#### 3.4 常见的时间复杂度

(1)常数阶O(1)

(2)对数阶O(**log*2***n)

(3)线性阶O(n)

(4)线性对数阶O(n**log2**n)

(5)平方阶O(n^2)

(6)立方阶O(n^3)

(7)k次方阶O(n^k)

(8)指数阶O(2^n)

常见的时间复杂度对应的图：

![13.排序算法简介05.png][5]

**说明**：

•常见的算法时间复杂度由小到大依次为：`Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)<Ο(n2)＜Ο(n3)＜Ο(nk)＜Ο(2n)` ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低

•从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

**(1)常数阶O(1)**

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

![13.排序算法简介06.png][6]

上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

**(2)对数阶O(log2n)**

![13.排序算法简介07.png][7]

**说明**：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = **log**2n**也就是说当循环 **log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(**log**2n**) 。 O(**log**2**n**) 的这个2 时间上是根据代码变化的，`i = i * 3` ，则是 O(**log3**n**) .

![13.排序算法简介08.png][8]

(3)**线性阶**O(n)

![13.排序算法简介09.png][9]

**说明**：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

(4)**线性对数阶O(**nlogN)

![13.排序算法简介10.png][10]

**说明**：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

(5)**平方阶**O(n²)

![13.排序算法简介11.png][11]

**说明**：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 `O(n*n)`，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

(6)**立方阶**O(n³)**、**K次方阶O(n^k)

**说明**：参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似

#### 3.5 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1)平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

2)最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

3)平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图)。

![13.排序算法简介12.png][12]

### 4.**算法的空间复杂度简介**

**基本介绍**

1)类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。

2)空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况

3)在做算法分析时，**主要讨论的是时间复杂度**。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.

[1]: https://lilinchao.com/usr/uploads/2020/01/2065708076.png
  [2]: https://lilinchao.com/usr/uploads/2020/01/278798086.png
  [3]: https://lilinchao.com/usr/uploads/2020/01/135193843.png
  [4]: https://lilinchao.com/usr/uploads/2020/01/2444885488.png
  [5]: https://lilinchao.com/usr/uploads/2020/01/1014030660.png
  [6]: https://lilinchao.com/usr/uploads/2020/01/3120841087.png
  [7]: https://lilinchao.com/usr/uploads/2020/01/98882743.png
  [8]: https://lilinchao.com/usr/uploads/2020/01/1118271654.png
  [9]: https://lilinchao.com/usr/uploads/2020/01/1060384110.png
  [10]: https://lilinchao.com/usr/uploads/2020/01/4268104580.png
  [11]: https://lilinchao.com/usr/uploads/2020/01/818639451.png
  [12]: https://lilinchao.com/usr/uploads/2020/01/1770018747.png

标签: 数据结构和算法, 排序

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