数据结构和算法学习--菲波那切（黄金分割法）查找算法

Leefs 2020-02-06 PM 2406℃ 0条

# 数据结构和算法学习--菲波那切（黄金分割法）查找算法

### 一、基本介绍

（1）黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不到的效果。

（2）菲波那切数列{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55}发现斐波那契数列的两个相邻数的比例，无限接近黄金分割值0.618

![25.菲波那切查找算法01.png][1]

### 二、菲波那切（黄金分割法）原理

菲波那切查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即mid=low+F(k-1)-1（F代表菲波那切数列），如下图所示

![25.菲波那切查找算法02.png][2]

**对F(k-1)-1的理解：**

（1）由菲波那切数列F[k]=F[k-1]+F[k-2]的性质，可以得到(F[k]-1)=(F[k-1]-1)+(F[k-2]-1)+1,该式说明：只要顺序表的长度为F[k]-1,则可以将该表分成长度为F[k-1]-1和F[k-2]-1的两段，即如上图所示。从而中间位置为mid=low+F(k-1)-1

（2）类似的，每一子段也可以用相同的方式分割

（3）但顺序表长度n不一定刚好等于F[k]-1,所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。这里的k值只要能使得F[k]-1恰好大于或等于n即可。由以下代码得到，顺序表长度增加后，新增的位置（从n+1到F[k]-1位置），都赋为n位置的值即可。

```java
while(n>fib(k)-1)
k++;
```

**菲波那切查找应用案例**

请对一个有序数组进行斐波那契查找{1,8,10,89,1000,1234},输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示“没有这个数”。

```java
public class FibonacciSearch {

public static int maxSize=20;
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr={1,8,10,89,1000,1234};
        System.out.println("index="+fibSearch(arr,89));
    }

//因为后面我们mid=low+F(k-1)-1,需要使用到菲波那切数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
    //非递归方法得到一个菲波那切数列
    public static int[] fib(){
        int[] f = new int[maxSize];
        f[0]=1;
        f[1]=1;
        for (int i=2;i<maxSize;i++){
            f[i]=f[i-1]+f[i-2];
        }
        return f;
    }

//编写菲波那切查找算法
    //使用非递归的方式编写算法
    public static int fibSearch(int[] a,int key){
        int low=0;
        int hight=a.length-1;
        int k=0;//表示斐波那契分割数值的下标
        int mid=0;//存放mid值
        int f[]=fib();//获取到菲波那切数列
        //获取到菲波那切分割数值的下标
        while (hight>f[k]-1){
            k++;
        }
        //因为f[k]值可能大于a 的长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp[]
        //不足的部分会使用0填充
        int[] temp= Arrays.copyOf(a,f[k]);
        //实际上需求使用a数组最后的数填充temp
        //举例：
        //temp={1,8,10,89,1000,1234,0,0}=>{1,8,10,89,1000,1234,1234,1234}
        for(int i=hight+1;i<temp.length;i++){
            temp[i]=a[hight];
        }
        //使用while来循环处理，找到我们的数key
        while(low <= hight){//只要这个条件满足，就可以找
            mid = low + f[k-1]-1;
            if(key<temp[mid]){//我们应该继续向数组的前面查找（左边）
                hight=mid-1;
                //为什么是 k--
                //说明
                //1.全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2.f[k]=f[k-1]+f[k-2]
                //因为前面有f[k-1]个元素，所以可以继续拆分f[k-1]=f[k-2]+f[k-3]
                //即 在  f[k-1]的前面继续查找k--
                //即下次循环 mid=f[k-1-1]-1
                k--;
            }else if(key > temp[mid]){//我们应该继续向数组的后面查找（右边）
                low = mid + 1;
                //为什么是k-=2
                //说明
                //1.全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2.f[k]=f[k-1]+f[k-2]
                //因为后面有f[k-2]个元素，所以可以继续拆分f[k-1]=f[k-3]+f[k-4]
                //即 在  f[k-2]的前面继续查找k-=2
                //即下次循环 mid=f[k-1-2]-1
                k-=2;
            }else {//找到
                //需要确定，返回的是哪个下标
                if(mid<=hight){
                    return mid;
                }else {
                    return hight;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}
```

> 运行结果

```
index=3
```

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